2018年7月10日，国家艺术基金2017年度艺术人才培养项目《音乐理论人才培养》集中授课进入第十四天的学习，这也是来自普林斯顿大学的作曲家、音乐理论家德米特里.缇姆兹科教授为我们带来的第二次课程。他也是音乐理论著作《A GEOMETRY OF MUSIC（音乐几何学）》的作者，这本书从几何学的角度构建了新的音乐分析体系，并将之应用于音乐分析以及指导新的音乐创作。今天的课程也是基于他的音乐几何学理论来展开，继续昨天讲座进行讲解。
三、音阶
1.什么是音阶？
（1）音阶的两种功能特质
缇姆兹科教授首先重新定义了“音阶”的概念，在我们考虑声部进行时，思考这个概念会帮助我们的理解。他认为一个音阶要具备两种主要功能特质：音阶是测量音乐距离的单位；音阶也具有宏观和声的功能。这两个功能各自独立，一个音阶只具备其中之一也是可以的，但是更多的情况是同一个音阶在同一个作品中往往会同时具备两种功能。
那么，音阶是如何测量音乐的呢？缇姆兹科教授将自然音级作为测量音乐进行的单位，而不是从传统的半音或者全音的角度来测量音乐的进行，用音级来表示音乐进行的距离，在第一小节中从C-D-E同样为1个音级，从第1小节进行到第2小节，第2小节进行到第3小节的的模进距离各为1个音级。也就是将自然音阶中的7个音级（对应钢琴的白键）作为衡量距离的概念，每个自然音级的距离都是相等的。如图1所示：
图1.
图2也是将自然音阶作为尺子来测量音乐的距离，两个自然音级之间的变化音可以用x.5来标识。
图2.
上面这段音乐的音响听起来会有些奇怪，缇姆兹科教授在最初设计这样的测量方式时也曾经也找不到头绪，认为只有音乐理论学家会对此感兴趣，但是当他在创作音乐时，却发现自己用到了这些方法，这对他来说非常有趣，因为一个纯粹的理论变成了实用的理论。缇姆兹科教授运用此理念创作了一首双钢琴作品，音响奇特，非常具有先锋派音乐的特色，同时运用了传统音乐的发展方式。
（2）音阶是宏观和声
缇姆兹科教授提到了他的《音乐几何学》里的例子。图3.a中两个模进用了同样结构的和弦，第一组是C自然音阶中的12个和弦，使用数字标记；第二组是#F自然音阶中的12个和弦，使用字母标记。建立了两组非常不同的和弦序列，在图3.b中是两组和弦的交叉混合。缇姆兹科教授说到，对音集集合理论学家来说，图3.a中的两组和弦是类似的，使用了相同的集合，但实际上这些和弦听起来却各不相同，从这点上来看，他认为音集理论是有局限的，这种理论只让我们观察了这一个类型的音乐结构，让我们忽略了这些模进中的差别，没有考虑到和弦是如何叠加起来形成更加宏大的结构的。C自然音阶中的和弦听起来相对和谐，而在#F自然音阶中的发出声响之后，它会听起来刺耳和不和谐。这就好像先前听到的音符萦绕在我们的记忆中，与我们现在听到的音符混合在一起，创造出一种音响，一种超越时间瞬间界限的“宏观和声”。
图3.
（3）宏观和声的量化--音级循环图
为了清晰的看到音级在音乐作品中是如何进行循环的，听到新的音级出现的频率是多高，缇姆兹科教授设计了音级循环图。该图显示在不同大小的窗口（音乐时间跨度）中不同的作曲家、不同的音乐作品中使用的音级数量。
图4.a中显示巴赫F大调作品以每三个连续的音符为一个窗口，那么每个窗口平均有2.4个不同的音级；图4.b中我们看到以每四个连续的音符为一个窗口，平均会有2.9个音级；图4.c中的图表为是与图4.b相同的信息的不同呈示方式。
图4.
图5显示的是帕勒斯特里那、莫扎特、贝多芬、勃拉姆斯、韦伯恩和瓦格纳的作品中所呈现的音级循环图。图形中的纵轴体现出宏观和声的大小（音级数量），横轴表示音乐窗口的时间刻度。图中帕利斯蒂娜的教皇弥撒在底部，韦伯恩的钢琴变奏曲Op.27在顶部。这两条曲线形状相似，上升速度快，反映出两个作曲家都倾向于在很短的时间内，用到各自能够使用的全部音级。横向线条的快速水平化体现出韦伯恩作品中宏观和声变化的缺失，他只能循环使用12个音符，帕勒斯特里那在同等的时间跨度中创造了相对平缓的线条。
图5.也展示了莫扎特、贝多芬、勃拉姆斯和瓦格纳的作品所呈现出的独特的宏观和声，他们的曲线图迅速上升，然后逐渐趋于平稳。
图5.呈示出音乐史上的一条真理: 随着时间的推移，半音化色彩逐渐增加，从巴洛克和古典时期就已经开始，在19世纪蓬勃发展，最后达到完全的无调性。
图5
2. 如何构建好的音阶？
应具体两个特性：
（1）可以将八度均匀或几乎均匀地分割
在这种情况下可以把音阶看成是一把衡量音乐的尺子，当音阶可以均匀分割时，被分割的部分作为模型可以在音阶上进行移动，而不需要进行很多的转换。当音阶接近不均匀分割时，就可以产生很多的变化。第一个特性对于调性和无调性作曲家是一样的。
（2）包含同一的宏观和声音响效果。第二个特性是专门针对调性作曲家而言的。
在十二音的音乐世界中，这些特性是相互关联的。
图6.
图6是我们熟悉的音阶，它们都充满了协和的音程，其中五声音阶和自然音阶是纯五度的叠加，旋律小调音阶是三度的叠加，全音音阶是大三度的叠加，八声音阶是小三度的叠加，这些音阶充满了和谐的元素，所以可以形成很好的宏观和声效果。展示了这些音阶的叠加效果，使得音阶应具备的两种特性可以直观的展现出来。
图7.五声音阶、自然音阶、半音音阶是五度的叠加，全音音阶、六声音阶、八声音阶是两个完全不同音程的叠加，八声音阶是小三度叠加，所以这些音阶中充满着五度、三度的叠加效果，六声音阶，两边是大三度叠加，中间被纯五度一分为二。全音音阶是两个大三度的叠加被八度进行分割。
图7.
我们可以看到和声与旋律小音阶是小三度与大三度的叠加，所以说自然音阶非常的特别，因为它是五度的叠加也是三度的叠加，这两个特性反映在可以用两个方法为音阶调音上。毕达哥拉斯强调的是五度，纯律强调的是三度。
缇姆兹科提到一个非常重要的事实，对于作曲家以及那些分析二十世纪调性音乐的人来说，他们有七个常用的音阶，当所有的非半音化的和弦，包括：全音音阶、六声音阶、自然音阶、旋律小调、和声小调、和声大调、和八声音阶，它们将音阶作了平均的划分。这些事我们熟悉的音阶，其中充满了我们熟悉的和弦，如果我们知道这些音阶的话，我们就可以来操控每一个和弦。接下来，缇姆兹科用一个叫做scale finder的软件，通过这个软件可以快速判断某一和弦能够出现在哪些常用音阶的范围中。如图8.所示，最上方三个对称的音阶是六声音阶、八声音阶、全音音阶，第二排左侧两个是和声大小调音阶，右侧是声学音阶。最下方是自然音阶。
3.古典音乐中的音阶
缇姆兹科教授向我们展示了海尼兴1727年发明的一个调性循环图，将小调放在纯五度大调之间，它与我们昨天展示过的十二音以及七音音阶模型是非常类似的环形结构：
C自然音阶的集合，逆时针按五度循环移动到G自然音阶集合时只有一个音发生了改变，这两个音阶在和声空间当中是非常接近的。以逆时针方向移动:C-G-D-A-E-B-#F-#C-#G-ЬE-ЬB-F-C,直到我们回到原来的起点,这是最开始的C自然音阶最下方的F音上移成了G音，如果以顺时针方向移动，音会逐渐的下移，回到原来的起点，结果是相反的。海尼兴的图与这样的几何架构是非常类似的，是我们整个音乐空间所产生的具有逻辑的声部进行。非常有趣的是，这与在自然音阶中的三和弦的音阶的构成非常的类似三度循环。
接下来缇姆兹科教授以贝多芬的第九交响曲中的片段为例，通过两组音阶循环模型我们可以直观看到和弦也是沿着这样一个圆圈下移，音阶也沿着圆圈移动，两者是同步进行的。我们可以用非常类似的图像来代表不同的音乐元素。顺时针移动时我们降调号音阶逐渐增多，如果我们遵循这样一个声部进行的环形逻辑的话，那么，乐曲在最后结束时从ЬЬB进行到B，就像是将在这个调性循环图中出现过的调都取消掉，这个模型可以帮助我们更清楚在这个音乐片段快要结束的时候发生了什么，音乐获得了更多的动力。缇姆兹科教授的分析与新黎曼主义的分析有两个不同的地方，他认为在这个音乐片段中有两个转换，一个是转换是不同的和弦在不同的音阶当中来进行转换，另一个转换是在同一音阶内部来发生的。而用新里曼理论进行分析，会认为这个转换是发生在半音关系进行中，转换是在不同的三和弦之间发生的。新里曼的理论显然不具备分析的层次性，没有在音阶转换的概念之中来考虑问题，新黎曼主义认为的转换R与L转换之间交替进行。
缇姆兹科教授认为每一个三和弦起到的作用是一样的，总是按五度上移，无论调性如何变化，另一个转换是音阶转换，这两个分析朝向不同的方向展开，他的分析将与贝多芬之前的创作联系起来，把它与莫扎特、巴赫的音乐相联系，和弦在音阶内部移动；而新里曼主义指向未来的创作，将贝多芬与瓦格纳联系起来，与半音化相更加贴近。这也使我们看到缇姆兹科的音乐理论的特质所在，两种理论没有高低对错之分，而是不同的审视音乐的方法。
⑷关于小调
小调的复杂性体现在它处于两个不同的空间，比如a小调与C大调和A大调非常接近，哥德弗里德?韦伯在1817年提出了与之相关的二维环形几何学理论。缇姆兹科教授认为同一个和弦的不同转换方式往往与音阶的行进方向是一直的，但是在韦伯的二维理论中，只有一个循环是符合这一现象的，
缇姆兹科教授借鉴了新里曼理论中的转换方法，在将之运用于音阶之间的转换（关于音阶转换的具体细节在他的《音乐几何学》中有非常详尽的介绍），并结合与韦伯的二维环形几何学理论类似构图的方式，形成了音乐几何学的构图立体图形。
在从C大调到E大调的进行中C、D、F、G四个音级上移了半音，主音从C移到E，可以把它当做转调即可，而不用把它看做LP的转换，主音向上,连续做这样的上移，E大调会转到ЬA大调，最后会回到C大调上。这样形成音级与音阶两个不同的循环圈。每个音都回到开始的起始点上。但是这不能理解为声部进行也是一致的，按照韦伯的方法并没有形成真正的循环。
缇姆兹科教授提到他在写作音乐几何学一书时的构图流程：以构建五度循环的自然音阶为例，如图13.a所示，每条线表示向上移动半音，C自然音阶转到G自然音阶只有一个音需要做半音进行，G自然音阶继续上移五度，可以进行到D自然音阶，继续五度循环直至回到C自然音阶。这个空间把相应的移动在空间中记录出来，这也是与韦伯不同之处。
有趣的是，如果进行逆向操作，我们就会得到图13.c中的方形模进。如图13c所示，在循环五度上先把F变成#F，C变成#C、把这两个操作进行逆向操作。首先把C变成#C，把C的自然音阶进入到G声学音阶，这是在古典音乐中代表d小调的音阶，在这里我们的声部进行图进一步扩大，囊括了12音中最均匀划分的四个七声音阶，即全音音阶、声学音阶、和声小调、和声大调，构建出很美的方形结构。这个图形中包含了通过循环五度，把F变成#F，C变成#C，G变成#G,这代表这让这些移动重新构建次序，进行反向移动。在音乐几何学中，这个图形也可以体现出小调的变化，e小调上的三个音阶，e和声小调、e旋律小调或者a声学小调和a自然小调，从这样一个观点，我们可以看到大调在单一的地方就可以发现，然而小调在音乐空间中是分散的，因为e小调要与G大调和E大调这两个相关的调接近。
图13.
缇姆兹科教授说到，他的音乐几何学的分析理论比较难懂，所以在他的新书中，他将这种图形进行了简化，将循环空间图进行压缩简化。这与海尼兴的模型具有相同的特征，音乐，这也反映了韦伯的模式。
4.二十世纪中的音阶
缇姆兹科教授认为不同的音乐风格中都有类似的创作技法，在不同风格的音乐中，会运用类似的音阶和相似的技法来创作，他谈到三个不同的技法：
（1）和弦优先，通过纵向的和声进行产生横向的音阶。格里格《Vision》
（2）音阶优先，通过声部的进行把相关的音阶相结合。德彪西《原野上的风》
（3）集合优先，通过对音集的环绕进行创作。德彪西《雪中足迹》
由于时间关系，他对每一种技法各举一例，更加细致的内容可以在他的书中找到答案。
四、有趣的作品
在下午的讲座中，缇姆兹科教授为我们带来了贝多芬、肖邦、斯特拉文斯基三位不同寻常的作曲家的作品，来进行分析，这也是有趣的实践部分，大家很期待能够用跟随缇姆兹科教授，运用刚刚学习到的音乐几何学方法，对这三位不同时期不同风格的作曲家的作品进行细致的音乐探索。之所以选择这三位作曲家，是因为他们都在音乐中使用了有趣的材料，即便你对理论一无所知也能感受到他们的音乐气势恢宏，并且他们的音乐中集合了重要的音乐特征，让我们有机会从中能得到学习的机会。
1. 贝多芬
缇姆兹科教授首先，讲了一个故事，在午夜惊醒，问自己为什么一直没有注意到贝多芬的作品中有上行的三度呢？当他并不知道这问题意味着什么，我们的大脑经常会以非同寻常的方式工作，他弹起了贝多芬的钢琴奏鸣曲no.21开始的主题，这些主题是基于模进之上的，表现为两只手朝着相反的方向来弹，贝多芬的很多主题都是这样的表现方式。为了分析这一模进，需要运用对称的理论。增三和弦是对称的，在移位上对称，与大三和弦最接近的，这个对称可以让我们有很多办法来解读同样的乐章。根据增三和弦的对称特性，这一和弦可以按照图15.中给出的四种模式进行发展。比如第一个模式中左手下行半音进行，右手的四个和弦按照3个半音的步伐向上移动。在纵向的和弦结构中也能够形成某种意义上的对称。并展开到其他三种模式上。这是贝多芬非常喜欢的作曲技法，在这部作品中，通过不断的声部进行，来实现这个主题，将简单的理念发展成复杂的作品。缇姆兹科教授将这种模式在circular voice-leading space软件中进行了演示，并联系到流行音乐中的相似进行模式，让我们看到了这种和声模进形式对音乐作品的塑造功能。这一模式作为核心材料在no.21之后的音乐发展中起到了重要了结构意义，塑造了整个作品的宏大气质。
2. 肖邦
三度五度，以肖邦的a小调前奏曲为例，这段音乐具有神秘感，这部作品一共有三个声部，声部进行了伪装和装饰，声部时有隐藏，打破了古典的规则，（如图16所示，1、2、3分别代表三个声部）开始的调性也不同寻常。四个乐句都在同一的和声模式中建立，通过和弦或者说音阶的模进，实现音乐的进行，不同的和弦在不同的音阶上移动。缇姆兹科教授同时也提醒各位学员，当在音乐中遇到很酷的元素时，我们要弄清楚如何用和弦和音阶把它构建出来。
在现代音乐中，我们也可以看到类似的操作，声部在自然音阶的空间下行，这种特定的模进在非调性音乐中经常出现，反而在调性音乐中逐渐消失了。
3. 斯特拉文斯基
（在这一部分中音乐观点，来自缇姆兹科和作曲家、单簧管演奏家Jon Rusell博士的共同学术理念。）从青年的舞蹈与123432的主题以及失衡的机制三个方面来谈《春之祭》的音乐创作。缇姆兹科教授认为123432这个主题体现了春之祭的神秘之处，数字表示的是两段同时进行的旋律，上方是主旋律，下方有两个伴随的旋律，像是音乐机器一样有自己各自的路径，缇姆兹科教授将这部分音乐中出现的音阶称为半自然音阶，在这部分中和声不是由和弦构成的，而是由音阶构成的，也就是宏观和声。结合节奏、音色等其他的音乐元素，运用电脑软件，将它们分配在不同的路径中，随机进行组合，我们听到的音响仍然与斯特拉文斯基所创作出来的音乐非常接近，这体现出作曲家对整个音乐机器的控制，打造出作品气势恢宏的音响效果。
这两个主题其实是一样的，当我们运用下方的公式来进行计算，就能得到这样的结果。如下图所示，左右两个公式能够计算出相同的音级。降B自然音阶中，每个音有相应的数字，乘以4后再减七可以得到与之对应的下方音级。斯特拉文斯基是否以数学方式思考，我们不得而知，但是想这样有趣的处理，在这部作品中处处可见。
在下午的讲座中，缇姆兹科教授还围绕着《春之祭》中的音阶结构、宏观和声、节奏重音、音集材料的对称等方面的内容，通过大量的谱例和音响资料以及各种软件的应用，向我们展示了他的基于音乐几何学理论所建立起来的音乐分析理念，扩展了学员们的学术视野，并对未来的学术研究提供了有效的分析工具。由于受时间及篇幅所限，这里不一一展开。明天是缇姆兹科教授的第三天讲座，将涉及到对未来音乐的一些思考及讨论环节，期待明天的头脑风暴。
（撰稿：吴晗 单位：哈尔滨音乐学院）
