2018年7月9日，由上海音乐学院主办，上海音乐学院研究生部承办的“国家艺术基金——音乐理论人才培养项目”的课程进入第三周。来自美国普林斯顿大学的德米特里·缇姆兹科（Dmitri Tymoczkoz）教授将带来为期三天的讲座。缇姆兹科教授讲座的内容是基于他多年关于“音乐几何学”的研究，他是第一位在自然科学领域的顶级期刊《科学》杂志发表音乐理论文章的音乐理论家，他于2012年出版的著作《音乐几何学》，受到了《音乐时代》等刊物的高度评价。
（德米特里·缇姆兹科教授《音乐几何学》封面）
在讲座开始之前，缇姆兹科教授首先介绍了他创作于2017年的双钢琴微分音作品，借此向大家阐明了他的音乐理念、音乐态度，以及关于音乐受众等问题。他认为：“音乐是个人化的，没有对错之分，不需要有统一的模式。作曲家的意图是通过声音在听众脑海中构建一幅图景，你的音乐就应该像真正的你，或你想要成为的样子。”
一、导论
缇姆兹科教授通过“简单的音乐”、“较为复杂的音乐”和“复杂的音乐——层级音乐”三种音乐分析方法，来介绍他的音乐理念。
1、简单的音乐
所谓“简单”，意指一些选自我们熟知的音乐中具有代表性的音乐姿态（gesture）片段。缇姆兹科教授用一个心理实验，播放了无调性变奏版本的贝多芬《黎明奏鸣曲》，验证了当和声彻底改变后，音乐还会因为节奏、力度、织体和乐句走向等特点而具有很强的辨识度。作为音乐理论学者，我们应该思考的是，对我们的耳朵来说，什么样的音乐结构是更好的。
贝多芬的创作观念简单朴素，主题动机的旋律性不是最重要的，他将更多的关注投射在如何使音乐更加富有表现力的其他方面上。在勋伯格的早期作品、潘德列斯基、利盖蒂的部分作品、泽那基斯甚至自由爵士乐中都可以发现这种与贝多芬作品中相似的方式。缇姆兹科用泽纳基斯的作品Jonchaies(为大型交响乐队而作)和爵士钢琴家Cecil Taylor 即兴创作的《indent》等曲例来佐证——比起音高，二十世纪作曲家们更多关注的是其他音乐元素，如音域、动力、节奏、音色等。
2. 较复杂的音乐
较复杂的音乐涉及到了缇姆兹科提出的术语——“宏观和声（Marcoharmony）”：用来描述人们在很短的音乐时间内所听到的音 （大概30秒）。宏观和声的概念与我们常说的音阶相关。
缇姆兹科认为，宏观和声可以成为基本的组织架构原则，并且，宏观和声是如何发展，如何由一个进行到下一个，要比其和声内部具体的音高组织更为重要。我们可以发现，无论是一百多年前德彪西的音乐（如前奏曲《帆》），还是之后由利盖蒂创作的Monument（1975）, 或是与利盖蒂创作理接近的墨西哥作曲家南卡罗（Nancarrow） 的作品《study#20》（1965）中都不难发现, 和声是可以被放在“宏观和声”中来分析并理解的，它们之间可以通过共同的音来构建和声。缇姆兹科一再强调，我们更需要关注的是乐曲中宏观和声的走向及进行方式，以此来了解并思考音乐作品。
3. 更复杂的音乐——“层级音乐 (hierarchical music)”
缇姆兹科教授的内容从较复杂的音乐进入到更为复杂的音乐中——“层级音乐(hierarchical music)”。缇姆兹科教授认为音乐可分为二个层级：1、和弦在音阶的范围内移动。2、音阶本身的移动。
下图谱例中，我们可以把旋律中每二个十六分音符分别看做一个声部，从而产生二个层级，即四分音符的和声进行。
缇姆兹科随后又采用德彪西的《欢乐岛》来进一步解释。
上图是和弦缩略图，可以清楚的看出音乐从自然音阶转到了非自然音阶。在音阶转换的过程中，和弦（#G-B-#D-#G）通过半音移位，到达和弦(G-B-D-G)，实现了从自然音阶到五声音阶的转换；再者，音阶本身也可以像和弦那样移动，和弦（G-B-D-G）到（E-A-B-E）的连接，实现了五声音阶(G-A-B-D-E-G)到五声音阶（E-G-A-B-D-E）的转换。
这里列举出G五声音阶和B大调自然音阶的和弦， (G-B-D-G)通过半音移位到达（#G-B-#D-#G）和弦，说明和弦通过半音移位而形成音阶的转换。
缇姆兹科教授提出：他的目的是研究一套符合二十一世纪的工具，用来思考和弦及音阶，无论我们分析的对象是调性还是非调性音乐，这样的工具可以同时作用于分析和弦与音阶，可以帮助我们理解早期作曲家们的创作，同时也可以为我们揭示未来创作的发展方向。
二、新视角下的声部进行
1.和声与声部进行
缇姆兹科教授提出，我们可以把和弦或和声看做一个音乐空间，可以承载所有可能的和弦。“声部进行”是指从一个和弦到另一个和弦的运动，如下图，两个和弦是以同样的基础——C音向上移动，形成了不同和声的进行。
除了用音名来表示声部进行的运动方向，我们也可以用数字+符号的方式来表示。如下列谱例中，数字1与2代表第一声部与第二声部， -1代表该声部向下移动了一个半音；+1表示该声部向上进行了一个半音。刚好形成了“蟹型对位”，这在贝多芬、勋伯格等作曲家的作品中常有出现。
缇姆兹科教授建议音乐理论学者听音乐时，应该从音响的角度来思考音乐中比较特别的音响是如何实现的。不要把音乐理解为具体的集合，而是用更为宽泛的方式思考音乐。他以文艺复兴时期著名作曲家杰苏阿尔多的作品为例，解释了当时音乐中激进的半音化进行特征。
从下图谱例中可以清晰的看出音高运动的规律性：第一行谱例中的大三度双音呈现出向下半音级进的特点，第二行谱例则通过对称的方式分别在双音的上方和下方加入一个小三度形成和弦，第三行谱例通过转换，将下方叠加的音换到上方声部，低音声部保留向下半音进行的形态。
缇姆兹科教授指出这种和声形式在德彪西、舒伯特前奏曲、肖斯塔科维奇的作品中是很常见的。下图四个例子可以帮助大家更好的理解这种分析和弦进行的思维模式。
2、对称与接近对称
缇姆兹科教授认为，在西方音乐中，声部进行从根本上是基于对称与接近对称的。接近对称为我们缔造了有效的声部进行，就好比在键盘上演奏时，手指移动的距离不会太大。如果我们以C-E-#G这个增三和弦为例，如通过对称性的等音移位，可以得出三个增三和弦的等和弦，这就为之后新的和声进行创造了可能性。
下图说明了和弦用接近对称的移位现象，以C-E-G和弦为中心的运动,保持C音不动，E和G反向运动半音，实现从C大调到bA大调移位的转换。保持E音不动，C和G反向运动半音，则实现了从C带到到E大调的转换。通过这样的方式，可以转换到更多的新调性上。
通过这样的移位模式，我们也可以把音级放在下面的环形中。环形图的一周360度，平均律的半音关系则为30度，在图形中我们可看到和弦移位时的状态。
上图可以帮助我们用几何的形式理解，和弦是如何进行移动的。用这样的“接近对称”形式，如在某一个或几个音为中心轴的基础上，加入新的音高从而得出更多的和声。
三、音乐几何学初探
缇姆兹科教授通过上午的讲座介绍了自己的音乐理念，下午讲座的正式进入到“音乐几何学”，这也是本次讲座最重要的部分，也是对于大家来说最难理解的部分。
教授介绍了“环形空间”这个概念，也被称为“音级集合空间（Pitch-class space）。 如果把音乐中的元素看作一条线，点与点之间移动的路径可以用来代表声音的运动轨迹，与钢琴的键盘接近。考虑到八度的循环性，缇姆兹科把直线转变成环形，这个环形理论也是缇姆兹科有关“音乐几何学”的基础。
两个不同音高的点的运用在环形空间的路径，可以从高到低、或从低到高，通过顺时针或逆时针的方向体现出来，例如当一个音在上升十度和下降二度时是不同的。环形可以把音之间的不同距离、包括高低的不同方向在路径中表现出来。通过这样的方式，我们可以把任何形式的声部进行，通过环形的路径实现，作为思考音乐的一种方法。
另外一种数学思维思考音乐的方法，是在二维空间上体现声部的进行，如下图，横轴与纵轴线分别代表高声部与低声部，通过箭头表示声部进行的方向，同时也是其路径的体现。
当我们想要把更大范围的音进行分析，就可以利用下面这张图表，共分为四个部分，每个部分都包含了二个音在二维空间内的路径，类似下图右侧的人像关系。
为了更直观的说明了音的运动轨迹，用蚂蚁穿行的例子来说明上图。下图左边的图例清晰的显示了蚂蚁穿过，互为倒影的四连图时的路径，右边的图则是蚂蚁以人像为参照物，经过人像的路径。把这种思维体现在音乐集合上，则出现下图。
在讲座的最后一个部分，缇姆兹科找到新的模型用来描述声部进行，他们都是二维的，无论和弦有多大。这也是他第一次向学生解释这一方法，该理论会出现在他即将出版的新书中。
通过特制的软件，可以设置不同的和弦及音阶内包含的音的数量， 我们可以立刻看到声部进行在环形中的运动过程。如下例为十二个音在三和弦中的空间状态，当蓝色的点停留在图中的位置，可以产生C-E-G和弦。
按照缇姆兹科的音乐几何学理论，音的运动可以用环形空间来表示，一个音为一圈，两个音为两圈，以此类推。经过循环，最后还是可以回到最初的点，而在这样的环形空间中，来研究音乐的运动是如何进行的。如下图左边表示了在十二音音阶中三和弦的运动空间。
运算公式为： 3*360度=1080（3音*周长）
1080÷12=90度
因此每个半音的关系，在图标上均表示为90度。这样我们看到增三和弦在环形空间里的距离。上图右侧的图便是十二音列在七音空间中的运动，我们发现音与音之间按照五度关系的运动是最近的距离。
在今天的课程中，缇姆兹科教授运用了大量的音响、视频、谱例，以及高科技的手段，从独特的视角和几何学的思维出发，在不同时期音乐中提炼出音乐形态的相似性及声部进行的逻辑性。给年轻的中国音乐理论学者们打开了音乐分析的新视野，这种新的分析方法给我们带来一定的启示，鼓励学者们用创造性的方式来解读音乐。
（撰稿：李萌 单位：星海音乐学院）
